常用函數的曲線圖及應用簡說

一些常用函數的曲線圖及應用簡說

標簽：數學函數冪函數指數函數對數三角函數

分類：公度世界

0：關於基本數學應用的問題：

我的一些市場分析博文中，用了一些很淺顯的數學知識，但仍有博友覺得不大好理解。我采集了一些常用的基本函數的曲線和簡單說明，以備速查。

1：正弦余弦曲線：更一般應用的正弦曲線公式為：http://upload.wikimedia.org/math/0/4/d/04d7b8cb6ea3d7092770e502eb877f33.png

A 為波幅（縱軸）， ω 為（相位矢量）角頻率=2PI/T，T為周期， t 為時間（橫軸）， θ 為相位（橫軸左右）。

周期函數：正余弦函數可用來表達周期函數。

例如，正弦和余弦函數被用來描述簡諧運動，還可描述很多自然現象，比如附著在彈簧上的物體的振動，掛在繩子上物體的小角度擺動。正弦和余弦函數是圓周運動一維投影。

三角函數在一般周期函數的研究中極為有用。這些函數有作為圖像的特征波模式，在描述循環現象比如聲波或光波的時候很有用。每一個信號都可以記為不同頻率的正弦和。http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Synthesis_square.gif/340px-Synthesis_square.gif http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf2/skins/common/images/magnify-clip.png諧波數目遞增的方波的加法合成的動畫。

余弦函數的（通常是無限的）和；這是傅立葉分析的基礎想法。例如，方波可以寫為傅立葉級數：http://upload.wikimedia.org/math/c/c/b/ccb3fbbad43a32a3454d8e17beb0b29e.png

在動畫中，可以看到只用少數的項就已經形成了非常準確的估計。

如果明白了上書基本原理，也就不難理解我所用的浮動頻率合成曲線的道理。

2：指數函數：形如 y=ka^x 的函數，k為常系數，這里的 a 叫做“底數”，是不等於 1 的任何正實數。指數函數按恒定速率翻倍，可以用來表達形象與刻畫發展型的體系，比如金價2001年以來的牛市軌跡基本就是指數方程曲線。

特例：應用到值 x 上的這個函數可寫為 exp(x)。還可以等價的寫為 e^x，這里的 e 是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828，還叫做歐拉數。

即函數：http://upload.wikimedia.org/math/7/d/b/7dbebe48d212459126c9b1217fa3379c.png

定義於所有的 a > 0，和所有的實數 x。它叫做底數為 a 的指數函數。注意這個 http://upload.wikimedia.org/math/3/7/8/378ef468365a2fd4ae953f909ad2dee0.png 的定義依賴於先前確立的定義於所有實數上的函數 http://upload.wikimedia.org/math/5/c/f/5cffa5d7a0c145a80dee9dc2295d5cdf.png 的存在。注意上述等式對於 a = e 成立，因為http://upload.wikimedia.org/math/2/f/7/2f72b641f0b37e582d2a5e2cb5705410.png

指數函數可“在加法和乘法之間轉換”，在下列“指數定律”的前三個和第五個中表述:http://upload.wikimedia.org/math/1/e/2/1e2777f01991719b5668f80f00722757.png http://upload.wikimedia.org/math/d/1/e/d1e1fdc7e280c8ca34df009c77eae36a.png http://upload.wikimedia.org/math/a/4/1/a4191844b880b634839ffc3327a63f88.png http://upload.wikimedia.org/math/5/b/2/5b255e421d8eca30574b71afdfd05c8a.png http://upload.wikimedia.org/math/e/5/a/e5a702e6ca7ab15d11f44cd481260300.png http://upload.wikimedia.org/math/7/9/2/792be9fa181496f1a6aa7506c61f6c56.png

它們對所有正實數 a 與 b 和所有實數 x 與 y 都是有效的。

3：冪函數：是形如f(x)=x^a的函數，a可以是自然數，有理數，也可以是任意實數或覆數。

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c7/Power_function.gif/800px-Power_function.gif

下圖是冪函數; 自上至下: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Root_graphs.svg/800px-Root_graphs.svg.png

注意到上圖中a值有分數的情形，這個就是分形數學的源頭。分數維意味著兩個量x，y之間存在著冪函數關系,即y=ax^b 。而這里的b可以不是正整數。

語言學中Zipf定律與經濟學中的Pareto定律都是簡單的冪函數，也稱之為冪律分布；還有其它形式的冪律分布，像名次——規模分布、規模——概率分布，這四種形式在數學上是等價的，冪律分布的示意圖如圖1右圖所示，其通式可寫成y=c*x^(-r)，其中x，y是正的隨機變量，c，r均為大於零的常數。這種分布的共性是絕大多數事件的規模很小，而只有少數事件的規模相當大。對上式兩邊取對數，可知lny與lnx滿足線性關系，也即在雙對數坐標下，冪律分布表現為一條斜率為冪指數的負數的直線，這一線性關系是判斷給定的實例中隨機變量是否滿足冪律的依據。

冪率的另一層重要意義：理解冪律分布就是所謂的馬太效應，二八原則，即少數人聚集了大量的財富，而大多數人的財富數量都很小。

4：對數函數曲線：群論對於對數的視角，是俺常用的：即從純數學的觀點來看，恒等式http://upload.wikimedia.org/math/7/c/5/7c55baf936fb730ec5c693d25eaab6b9.png，

在兩種意義上是基本的。首先，其他算術性質可以從它得出。進一步的，它表達了在正實數的乘法群和所有實數的加法群之間的同構。對數函數是從正實數的乘法群到實數的加法群的唯一連續同構。